cafelier@SRM

SRM452 1000

あとで | 00:06 |

rng_58さんのコメントを参考に。

// mod 演算用ユーティリティ
LL MODVAL = 1000000007LL;
LL ADD(LL x, LL y) { return (x+y)%MODVAL; }
LL SUB(LL x, LL y) { return (x-y+MODVAL)%MODVAL; }
LL MUL(LL x, LL y) { return (x*y)%MODVAL; }
LL POW(LL x, LL e) {
   LL v = 1;
   for(;e;x=MUL(x,x),e>>=1)
      if(e&1)
         v = MUL(v, x);
   return v;
}
LL DIV(LL x, LL y) { return MUL(x, POW(y, MODVAL-2)); }
LL C(LL n, LL k) {
   LL v = 1;
   k = min(k, n-k);
   for(LL i=1; i<=k; ++i)
      v = DIV(MUL(v, n-i+1), i);
   return v;
}

// 本体
class IncreasingNumber { public:
   int countNumbers(long long digits, int divisor) 
   {
      LL  N = digits;
      int D = divisor;

      //  ちょうど N 桁の Increasing number
      //＝
      //  0<=Σa<=8 な a[] を使って
      //    1*a[0] + 11*a[1] + ... + 111..111*(a[N-1]+1)
      //  の形で書ける数
      //
      //なので
      //
      //  D で割れるちょうど N 桁の Increasing number の個数
      //＝
      //  0<=Σa<=8 な a[] で
      //     coeff[0]*a[0] + coeff[1]*a[1] + ... + coeff[N-1]*(a[N-1]+1) = 0
      //  なものの個数 ( where coeff[i] := "1がi+1個並んだもの" % D )


      // ステージ１

      vector<LL> nc(D); // nc[m] = (coeff[i]%D==m な i の数)
      int       ceLast; // coeff[N-1]
      {
         // coeff は高々 D 回でループしてるはず
         vector<int> coeff;
         int loop_start = -1;
         for(int v=1%D ;;)
         {
            loop_start = find(coeff.begin(), coeff.end(), v) - coeff.begin();
            if( loop_start != coeff.size() )
               break;
            coeff.push_back( v );
            v = (v*10 + 1) % D;
         }
         int loop_len = coeff.size() - loop_start;

         for(int i=0; i<coeff.size() && i<N; ++i)
            if( i < loop_start )
               nc[coeff[i]] = 1;
            else
               nc[coeff[i]] = (N-i+loop_len-1)/loop_len % MODVAL;
         ceLast = N-1 < loop_start ? coeff[N-1]
                                   : coeff[(N-1-loop_start)%loop_len+loop_start];
      }


      // ステージ1.5 (毎回計算してると間に合わなかったのでキャッシュ)

      vector< vector<LL> > choice(D, vector<LL>(9));
      for(int m=0; m<D; ++m)
         for(int n=0; n<=8; ++n)
            // nc[m] 種類のものから n 個取る取り方
            choice[m][n] = (n==0 ? 1 : nc[m]==0 ? 0 : C(n+nc[m]-1, nc[m]-1));


      // ステージ２
      // dp[m][n][q] = 余り [0, 1, ... m] の係数から n 個使って総和を余り q にするやり方は何通り？

      vector< vector< vector<LL> > > dp(D, vector< vector<LL> >(9, vector<LL>(D)));
      for(int m=0; m<D; ++m)
         dp[m][0][ceLast] = 1;
      for(int n=1; n<=8; ++n)
         dp[0][n][ceLast] = choice[0][n];
      for(int m=1; m<D; ++m)
         for(int n=1; n<=8; ++n)
            for(int q=0; q<D; ++q)
               for(int k=0,q2=q; k<=n; ++k,q2=(q2-m+D)%D)
                  dp[m][n][q] = ADD( dp[m][n][q], MUL( dp[m-1][n-k][q2], choice[m][k] ) );

      LL ans = 0;
      for(int n=0; n<=8; ++n)
         ans = ADD(ans, dp[D-1][n][0]);
      return ans;
   }
};

• なんというか、「10進数表記したときに各桁の数字が昇順に並んでいる」っていう性質を「a + 11b + 111c + 1111d + ... (a + b + ... <= 9) と書ける」って捉え直す考え方がなかったです。なるほどなあ。これは綺麗だ！
• これに気づかせて貰ったらあとはストレートなDP。
  • っと思ったけど結構時間がシビアなことになってしまった。
  • もっと綺麗に書けるのかな